Psychophysik : Darstellung der Methoden der experimentellen Psychologie / von W. Wirth.

  • Wirth, Wilhelm, 1876-1952.
Date:
1912
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Credit: Psychophysik : Darstellung der Methoden der experimentellen Psychologie / von W. Wirth. Source: Wellcome Collection.

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    [24] kann also immer nur den Zweck verfolgen, den wahrscheinlichen Verlauf zwischen den beobachteten Werten höchstens annähernd darzustellen, und darf insbesondere keinerlei Bedeutung über die Extreme hinaus be- anspruchen. , Eben deshalb begnügt man sich aber nun bei Verwendung der alge- braischen Funktionen im allgemeinen schließlich auch damit, immer nur ein Stück der ganzen Verteilungsfunktion mit je einem Funk- tionsausdruck einheitlich und mit durchweg stetigen Richtungs- änderungen darzustellen. Man vereinigt also je s aufeinander folgende Werte z0; zt . . . zä; z3, z3 + i . . ., z2s usw. zu je einer algebraischen Funk- tion (s ■—-1) ten Grades, wodurch natürlich die Formel [26], zumal bei äqui- distanten Ausgangswerten, bedeutend vereinfacht werden kann. Freilich wird hiermit zunächst bei dem Übergang zur neuen Funktion die Stetigkeit der Richtungsänderung preisgegeben, wenn auch die Funktion selbst keinen Sprung macht. Denn die Richtungsänderung der Kurve, die in den Differentialquotienten erster bis n-ter Ordnung zum Aus- druck kommt, — der n -f- 1-te verschwindet hier, nachdem der n-te einfach eine Konstante war — ist nur innerhalb der nämlichen Interpolations-Funk- tion eine stetige, da im allgemeinen die nächstbenachbarte doch nicht mit ihr zusammenfällt. Der Grenzfall dieser stückweisen Darstellung mittels algebraischer Funk- tionen ist natürlich wiederum die lineare Verbindung von jeweils nur zwei unmittelbar benachbarten Werten, die sich analytisch so darstellt, daß das System der „Beobachtungsgleichungen“ [25] durch lauter Paare linearer Gleichungen von der Form zs = aSjo + as,i xs Zs +1 = aä,o + aS)i xs q. i 127] ersetzt wird, aus denen sich dann je eine lineare Interpolationsfunk- tion von der Form ZsXa+i — Zs-i-iXs \ Zs + x zg . ^ pgj Xs-f-i — Xs J Xs+l Xs ergibt. Die einfachste Form erlangt man freilich erst durch eine passende Änderung der Koordinaten, die in Fig. 2 geometrisch veranschaulicht ist. Man verlegt den Anfangspunkt in den ersten der beiden linear zu verbinden- den Punkte A mit den alten Ordinaten Xs, z3. Hierdurch wird z' = z —zs; z’s = Zg — z3 = 0; z's + i = Zg + i — z3 — As x' — x— x3; x's = x3 — xs = 0; xs+i = Xs + i x3 = i |2Sa| und die neue bekannteste Gleichung für die rein liueare Interpolation zwi- schen x3 und Xs + i lautet somit einfach: / <4 g x, 1291 wie man sich natürlich auch aus Fig. 2 durch dio bekannte Proportion • z :x = A :i geometrisch ableitcn kann. Bei absoluten H. steht für z wieder Z .